Matulove.pl

Fizyka Wersja Zaliczeniowa

Kompendium Fizyki – Pełne Zadania

Temat 1: Wektory i ruch prostoliniowy – Teoria

Kluczowe pojęcia: wektory położenia, przemieszczenia i prędkości; iloczyn skalarny; ruch jednostajny prostoliniowy.

1. Wektory położenia, przemieszczenia i prędkości

Wektor położenia (r) – wskazuje położenie punktu względem początku układu współrzędnych. W układzie 2D: r = [x, y]

Wektor przemieszczenia (Δr) – zmiana położenia: Δr = r₂ – r₁. To wektor od punktu początkowego do końcowego.

Wektor prędkości (v) – tempo zmiany położenia: v = Δr/Δt.

v = Δr/Δt = (r₂ – r₁)/(t₂ – t₁)

2. Iloczyn skalarny – dwie definicje

Definicja algebraiczna: a·b = aₓbₓ + aᵧbᵧ + a_z b_z

Definicja geometryczna: a·b = |a| |b| cos α, gdzie α to kąt między wektorami

Z tych dwóch definicji możemy obliczyć kąt między wektorami:

cos α = (a·b) / (|a| |b|)
Przejdź do zadań: Kliknij „Zadania – Zestaw 1 i 2” w menu po lewej stronie, aby przejść do praktycznych rozwiązań.

Temat 1: Zadania – Zestaw 1 i 2

Tryb ślepy: AKTYWNY
Zakres zadań:
Zestaw 1: zadania 1, 2, 4, 5, 6, 7
Zestaw 2: zadanie 1 (bez pociągu do Opola), 2, 4, 5, 7
Z1.1 Zestaw 1, Zadanie 1: Wektory położenia
Z1.2 Zestaw 1, Zadanie 2: Prędkość średnia
Z1.4 Zestaw 1, Zadanie 4: Ruch wektorowy
Z1.5 Zestaw 1, Zadanie 5: Iloczyn skalarny
Z1.6 Zestaw 1, Zadanie 6: Kąt między wektorami
Z1.7 Zestaw 1, Zadanie 7: Równanie ruchu
Z2.1 Zestaw 2, Zadanie 1: Spotkanie pojazdów
Z2.2 Zestaw 2, Zadanie 2: Przemieszczenie vs droga
Z2.4 Zestaw 2, Zadanie 4: Ruch na płaszczyźnie
Z2.5 Zestaw 2, Zadanie 5: Dwa ciała
Z2.7 Zestaw 2, Zadanie 7: Prędkość średnia i chwilowa

Zestaw 1, Zadanie 1: Wektor położenia i przemieszczenia

Treść: Ciało porusza się z punktu A(2, 3) do punktu B(5, 7) w czasie 2 sekund. Oblicz wektor przemieszczenia, prędkość średnią i jej wartość.

1
Dane:
A(2, 3) → r₁ = [2, 3]
B(5, 7) → r₂ = [5, 7]
Δt = 2 s
Uzasadnienie: Zapisujemy punkty jako wektory położenia.
2
Wektor przemieszczenia Δr:
Δr = r₂ – r₁ = [5-2, 7-3] = [3, 4]
Uzasadnienie: Odejmujemy współrzędne punktu początkowego od końcowego.
3
Prędkość średnia v_śr:
v_śr = Δr/Δt = [3, 4] / 2 = [1.5, 2] m/s
Uzasadnienie: Dzielimy wektor przemieszczenia przez czas.
4
Wartość prędkości |v_śr|:
|v_śr| = √(1.5² + 2²) = √(2.25 + 4) = √6.25 = 2.5 m/s
Uzasadnienie: Długość wektora prędkości (twierdzenie Pitagorasa).
5
Odpowiedź:
Δr = [3, 4] m
v_śr = [1.5, 2] m/s
|v_śr| = 2.5 m/s

Zestaw 1, Zadanie 2: Prędkość średnia na odcinkach

Treść: Samochód jedzie 30 km z prędkością 60 km/h, a następnie 30 km z prędkością 40 km/h. Oblicz prędkość średnią na całej trasie.

1
Dane:
s₁ = 30 km, v₁ = 60 km/h
s₂ = 30 km, v₂ = 40 km/h
Uwaga: Prędkość średnia to CAŁKOWITA droga przez CAŁKOWITY czas.
2
Czas na pierwszym odcinku:
t₁ = s₁/v₁ = 30 km / 60 km/h = 0.5 h
Uzasadnienie: Czas = droga / prędkość.
3
Czas na drugim odcinku:
t₂ = s₂/v₂ = 30 km / 40 km/h = 0.75 h
4
Całkowita droga i czas:
s_całk = s₁ + s₂ = 30 + 30 = 60 km
t_całk = t₁ + t₂ = 0.5 + 0.75 = 1.25 h
5
Prędkość średnia:
v_śr = s_całk / t_całk = 60 km / 1.25 h = 48 km/h
Uzasadnienie: NIE jest to średnia arytmetyczna (50 km/h)! To częsty błąd.

Zestaw 1, Zadanie 4: Ruch wektorowy na płaszczyźnie

Treść: Ciało porusza się z prędkością v = [4, -3] m/s z punktu (1, 2). Gdzie będzie po 5 sekundach?

1
Dane:
r₀ = [1, 2] m
v = [4, -3] m/s
t = 5 s
r(t) = ? (położenie po czasie t)
2
Równanie ruchu jednostajnego:
r(t) = r₀ + v·t
Uzasadnienie: To podstawowy wzór na ruch ze stałą prędkością.
3
Podstawienie:
r(5) = [1, 2] + [4, -3]·5 = [1, 2] + [20, -15]
4
Obliczenia:
r(5) = [1+20, 2+(-15)] = [21, -13] m
5
Odpowiedź i interpretacja:
Po 5 sekundach ciało będzie w punkcie (21, -13).
Przesunęło się 21 m w prawo i 13 m w dół od początku układu.

Zestaw 1, Zadanie 5: Iloczyn skalarny

Treść: Oblicz iloczyn skalarny wektorów a = [2, -1, 3] i b = [4, 2, -2] na dwa sposoby.

1
Dane:
a = [2, -1, 3]
b = [4, 2, -2]
a·b = ? (iloczyn skalarny)
2
Sposób 1: Definicja algebraiczna
a·b = aₓbₓ + aᵧbᵧ + a_zb_z
= 2·4 + (-1)·2 + 3·(-2)
= 8 – 2 – 6 = 0
3
Sposób 2: Definicja geometryczna
Najpierw obliczamy długości:
|a| = √(2² + (-1)² + 3²) = √(4+1+9) = √14 ≈ 3.742
|b| = √(4² + 2² + (-2)²) = √(16+4+4) = √24 ≈ 4.899
4
Obliczenie kąta:
Z algebraicznej: a·b = 0
Z geometrycznej: a·b = |a||b|cosα
0 = 3.742·4.899·cosα
cosα = 0 → α = 90°
5
Interpretacja:
Iloczyn skalarny = 0 oznacza, że wektory są prostopadłe (kąt 90°).
Sprawdzenie: 2·4 + (-1)·2 + 3·(-2) = 8 – 2 – 6 = 0 ✓

Zestaw 1, Zadanie 6: Kąt między wektorami

Treść: Oblicz kąt między wektorami u = [1, √3] i w = [√3, 1].

1
Dane:
u = [1, √3]
w = [√3, 1]
α = ? (kąt między wektorami)
2
Iloczyn skalarny:
u·w = 1·√3 + √3·1 = √3 + √3 = 2√3 ≈ 3.464
3
Długości wektorów:
|u| = √(1² + (√3)²) = √(1+3) = √4 = 2
|w| = √((√3)² + 1²) = √(3+1) = √4 = 2
4
Cosinus kąta:
cosα = (u·w)/(|u||w|) = (2√3)/(2·2) = (2√3)/4 = √3/2 ≈ 0.866
5
Kąt:
α = arccos(√3/2) = 30°
Uzasadnienie: √3/2 to cosinus 30°.

Zestaw 1, Zadanie 7: Równanie ruchu

Treść: Ciało porusza się zgodnie z równaniem r(t) = [2+3t, 5-2t]. Oblicz położenie początkowe, prędkość i położenie po 4 sekundach.

1
Analiza równania:
r(t) = [2+3t, 5-2t]
To jest postać: r(t) = r₀ + v·t, gdzie:
r₀ = [2, 5] (położenie początkowe)
v = [3, -2] (prędkość)
2
Położenie początkowe:
r₀ = [2, 5] m (dla t=0)
3
Prędkość:
v = [3, -2] m/s
|v| = √(3² + (-2)²) = √(9+4) = √13 ≈ 3.606 m/s
4
Położenie po 4 sekundach:
r(4) = [2+3·4, 5-2·4] = [2+12, 5-8] = [14, -3] m
5
Interpretacja:
Ciało porusza się 3 m/s w prawo i 2 m/s w dół.
Po 4 s jest 14 m na prawo i 3 m w dół od początku układu.

Zestaw 2, Zadanie 1: Spotkanie pojazdów

Treść: Dwa samochody jadą naprzeciw siebie. Pierwszy z prędkością 60 km/h startuje z Krakowa, drugi z prędkością 80 km/h startuje z Katowic (odległość 80 km). Kiedy i gdzie się spotkają?

1
Dane:
v₁ = 60 km/h (z Krakowa)
v₂ = 80 km/h (z Katowic)
s = 80 km (odległość między miastami)
Przyjmujemy: Kraków w punkcie 0, Katowice w punkcie 80 km
2
Równania ruchu:
x₁(t) = 0 + v₁·t = 60t
x₂(t) = 80 – v₂·t = 80 – 80t
Uzasadnienie: Drugi jedzie w przeciwnym kierunku, więc odejmujemy.
3
Warunek spotkania:
x₁(t) = x₂(t)
60t = 80 – 80t
4
Rozwiązanie równania:
60t + 80t = 80
140t = 80
t = 80/140 ≈ 0.571 h = 34.3 min
5
Miejsce spotkania:
x₁(0.571) = 60·0.571 ≈ 34.3 km od Krakowa
lub x₂(0.571) = 80 – 80·0.571 ≈ 34.3 km od Krakowa
Sprawdzenie: 34.3 + (80-34.3) = 80 km ✓

Zestaw 2, Zadanie 2: Przemieszczenie vs droga

Treść: Samochód jedzie 5 km na północ, potem 3 km na wschód, a następnie 5 km na południe. Oblicz przemieszczenie i drogę.

1
Analiza trasy:
1. 5 km N (północ) → wektor [0, 5]
2. 3 km E (wschód) → wektor [3, 0]
3. 5 km S (południe) → wektor [0, -5]
2
Droga (długość toru):
s = 5 + 3 + 5 = 13 km
Uzasadnienie: Droga to suma długości wszystkich odcinków.
3
Wektor przemieszczenia:
Δr = [0+3+0, 5+0+(-5)] = [3, 0] km
Uzasadnienie: Sumujemy wszystkie wektory przemieszczeń.
4
Wartość przemieszczenia:
|Δr| = √(3² + 0²) = 3 km
Uwaga: Przemieszczenie (3 km) jest mniejsze niż droga (13 km).
5
Interpretacja:
Samochód zakończył podróż 3 km na wschód od punktu startu.
Przebył 13 km, ale przemieszczenie to tylko 3 km.

Zestaw 2, Zadanie 4: Ruch na płaszczyźnie

Treść: Ciało porusza się z prędkością v = [2, 5] m/s. Po jakim czasie osiągnie punkt (20, 50) jeśli startuje z (0, 0)?

1
Dane:
r₀ = [0, 0]
v = [2, 5] m/s
r_koniec = [20, 50]
t = ? (czas dojazdu)
2
Równanie ruchu:
r(t) = r₀ + v·t = [0+2t, 0+5t] = [2t, 5t]
3
Warunek dojazdu:
r(t) = [20, 50]
[2t, 5t] = [20, 50]
4
Rozwiązanie:
Z pierwszej współrzędnej: 2t = 20 → t = 10 s
Z drugiej współrzędnej: 5t = 50 → t = 10 s
Sprawdzenie: Oba warunki dają ten sam czas.
5
Odpowiedź:
t = 10 s
Uzasadnienie: Ciało potrzebuje 10 sekund, żeby osiągnąć punkt (20, 50).

Zestaw 2, Zadanie 5: Dwa ciała poruszające się

Treść: Dwa ciała startują z tego samego punktu. Pierwsze z prędkością [3, 4] m/s, drugie z [5, 2] m/s. Gdzie będą względem siebie po 6 sekundach?

1
Dane:
r₀₁ = r₀₂ = [0, 0]
v₁ = [3, 4] m/s
v₂ = [5, 2] m/s
t = 6 s
Δr = ? (względne położenie)
2
Położenia po czasie t:
r₁(6) = [0, 0] + [3, 4]·6 = [18, 24]
r₂(6) = [0, 0] + [5, 2]·6 = [30, 12]
3
Względne położenie (od pierwszego do drugiego):
Δr = r₂ – r₁ = [30-18, 12-24] = [12, -12] m
4
Odległość między ciałami:
d = |Δr| = √(12² + (-12)²) = √(144+144) = √288 ≈ 16.97 m
5
Interpretacja:
Drugie ciało jest 12 m na wschód i 12 m na południe od pierwszego.
Odległość między nimi to około 17 m.

Zestaw 2, Zadanie 7: Prędkość średnia i chwilowa

Treść: Ruch opisany równaniem r(t) = [t², 2t]. Oblicz prędkość średnią między t=1s a t=3s oraz prędkość chwilową w t=2s.

1
Dane:
r(t) = [t², 2t]
t₁ = 1 s, t₂ = 3 s
v_śr = ? (średnia), v(2) = ? (chwilowa)
2
Położenia:
r(1) = [1², 2·1] = [1, 2]
r(3) = [3², 2·3] = [9, 6]
3
Prędkość średnia:
v_śr = Δr/Δt = ([9-1, 6-2])/(3-1) = [8, 4]/2 = [4, 2] m/s
4
Prędkość chwilowa (pochodna):
v(t) = dr/dt = [d(t²)/dt, d(2t)/dt] = [2t, 2]
v(2) = [2·2, 2] = [4, 2] m/s
5
Interpretacja:
Prędkość średnia = [4, 2] m/s
Prędkość chwilowa w t=2s też = [4, 2] m/s (zbieżność)
Uwaga: Dla ruchu jednostajnie zmiennego średnia w środku przedziału równa się chwilowej.

Temat 2: Rozkład wektorów i ruch przyspieszony – Teoria

Kluczowe pojęcia: rozkład wektora na składowe; układ biegunowy i kartezjański; ruch jednostajnie przyspieszony; rzuty.

1. Rozkład wektora na składowe

Każdy wektor można rozłożyć na składowe wzdłuż osi układu współrzędnych:

Aₓ = |A| cos θ
Aᵧ = |A| sin θ
gdzie θ to kąt między wektorem a osią x
Przejdź do zadań: Kliknij „Zadania – Zestaw 3 i 4” w menu po lewej stronie.

Temat 2: Zadania – Zestaw 3 i 4

Tryb ślepy: AKTYWNY
Zakres zadań:
Zestaw 3: wszystkie zadania + „rzut ukośny”
Zestaw 4: zadanie 1
Z3.1 Zestaw 3, Zadanie 1: Ruch przyspieszony 1D
Z3.2 Zestaw 3, Zadanie 2: Równania ruchu przyspieszonego
Z3.3 Zestaw 3, Zadanie 3: Prędkość końcowa
Z3.4 Zestaw 3, Zadanie 4: Droga w ruchu przyspieszonym
Z3.5 Zestaw 3, Zadanie 5: Czas do zatrzymania
Z3.6 Zestaw 3, Zadanie 6: Ruch 2D przyspieszony
Z3.7 Zestaw 3, Zadanie 7: Rzut poziomy
RZUT Rzut ukośny – dodatkowe
Z4.1 Zestaw 4, Zadanie 1: Układ biegunowy

Zestaw 3, Zadanie 1: Ruch jednostajnie przyspieszony 1D

Treść: Samochód rusza z miejsca z przyspieszeniem 2 m/s². Jaką prędkość osiągnie po 8 sekundach i jaką drogę przebędzie?

1
Dane:
a = 2 m/s²
v₀ = 0 m/s (rusza z miejsca)
t = 8 s
v = ? (prędkość końcowa)
s = ? (droga)
2
Prędkość końcowa:
v = v₀ + a·t = 0 + 2·8 = 16 m/s
Uzasadnienie: Podstawowy wzór na prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym.
3
Droga:
s = v₀·t + ½·a·t² = 0·8 + ½·2·8² = 0 + 1·64 = 64 m
lub s = ½·(v₀+v)·t = ½·(0+16)·8 = 8·8 = 64 m
4
Sprawdzenie innym wzorem:
v² = v₀² + 2·a·s
16² = 0 + 2·2·s
256 = 4s → s = 64 m ✓
5
Odpowiedź:
v = 16 m/s = 57.6 km/h
s = 64 m

Zestaw 3, Zadanie 2: Równania ruchu przyspieszonego

Treść: Ciało porusza się z przyspieszeniem a = [0, -10] m/s² (rzut pionowy). Jeśli v₀ = [0, 20] m/s, znajdź równanie ruchu r(t).

1
Dane:
r₀ = [0, 0] (zakładamy start z ziemi)
v₀ = [0, 20] m/s (pionowo do góry)
a = [0, -10] m/s² (grawitacja)
r(t) = ? (równanie ruchu)
2
Ogólne równanie ruchu:
r(t) = r₀ + v₀·t + ½·a·t²
Uzasadnienie: To podstawowy wzór na położenie w ruchu jednostajnie przyspieszonym.
3
Podstawienie:
r(t) = [0, 0] + [0, 20]·t + ½·[0, -10]·t²
= [0, 0] + [0, 20t] + [0, -5t²]
4
Wynik:
r(t) = [0, 20t – 5t²]
Składowa x zawsze 0 (ruch tylko pionowy)
Składowa y: y(t) = 20t – 5t²
5
Interpretacja:
To jest równanie rzutu pionowego do góry.
Maksymalna wysokość gdy v_y = 0: t = v₀/g = 20/10 = 2 s
y_max = 20·2 – 5·2² = 40 – 20 = 20 m

Zestaw 3, Zadanie 3: Prędkość końcowa

Treść: Pociąg jedzie 72 km/h. Hamuje z opóźnieniem 2 m/s². Jaką ma prędkość po przejechaniu 50 m podczas hamowania?

1
Dane:
v₀ = 72 km/h = 72·(1000/3600) = 20 m/s
a = -2 m/s² (opóźnienie = ujemne przyspieszenie)
s = 50 m (droga hamowania)
v = ? (prędkość po 50 m)
2
Wzór bez czasu:
v² = v₀² + 2·a·s
Uzasadnienie: Używamy tego wzoru bo nie znamy czasu.
3
Podstawienie:
v² = 20² + 2·(-2)·50 = 400 – 200 = 200
4
Obliczenie v:
v = √200 ≈ 14.14 m/s
≈ 14.14·3.6 ≈ 50.9 km/h
5
Sprawdzenie zatrzymania:
Droga do zatrzymania (v=0):
0 = v₀² + 2·a·s_z
s_z = -v₀²/(2a) = -400/(2·(-2)) = 400/4 = 100 m
Po 50 m jeszcze nie zatrzymał się (50 < 100).

Zestaw 3, Zadanie 4: Droga w ruchu przyspieszonym

Treść: Ciało w 4 sekundzie ruchu przyspieszonego (z zerową prędkością początkową) przebyło 7 m. Jakie jest przyspieszenie?

1
Dane:
v₀ = 0
s_4 = 7 m (droga w 4 sekundzie)
a = ?
Uwaga: s_4 to droga między t=3s a t=4s.
2
Droga po czasie t:
s(t) = ½·a·t²
3
Droga w n-tej sekundzie:
s_n = s(n) – s(n-1) = ½·a·n² – ½·a·(n-1)²
= ½·a·[n² – (n-1)²] = ½·a·[n² – (n²-2n+1)]
= ½·a·(2n-1) = a·(n – ½)
4
Podstawienie dla n=4:
s_4 = a·(4 – 0.5) = a·3.5
7 = a·3.5
a = 7/3.5 = 2 m/s²
5
Sprawdzenie:
s(3) = ½·2·3² = 9 m
s(4) = ½·2·4² = 16 m
s_4 = 16 – 9 = 7 m ✓

Zestaw 3, Zadanie 5: Czas do zatrzymania

Treść: Samochód jedzie 90 km/h. Z jakim opóźnieniem musi hamować, żeby zatrzymać się na 100 m? Jaki to czas?

1
Dane:
v₀ = 90 km/h = 90·(1000/3600) = 25 m/s
v = 0 (zatrzymanie)
s = 100 m (droga hamowania)
a = ? (opóźnienie, ujemne)
t = ?
2
Opóźnienie (wzór bez czasu):
v² = v₀² + 2·a·s
0 = 25² + 2·a·100
0 = 625 + 200a
3
Obliczenie a:
200a = -625
a = -625/200 = -3.125 m/s²
4
Czas hamowania:
v = v₀ + a·t
0 = 25 + (-3.125)·t
3.125t = 25
t = 25/3.125 = 8 s
5
Odpowiedź:
a = -3.125 m/s² (opóźnienie ~0.32g)
t = 8 s
Uwaga: To typowe opóźnienie awaryjnego hamowania.

Zestaw 3, Zadanie 6: Ruch 2D przyspieszony

Treść: Ciało ma przyspieszenie a = [1, 2] m/s² i v₀ = [3, 1] m/s. Znajdź v(t) i r(t) jeśli r₀ = [0, 0].

1
Dane:
r₀ = [0, 0]
v₀ = [3, 1] m/s
a = [1, 2] m/s²
v(t) = ?
r(t) = ?
2
Prędkość w funkcji czasu:
v(t) = v₀ + a·t = [3, 1] + [1, 2]·t
v(t) = [3+t, 1+2t]
3
Położenie w funkcji czasu:
r(t) = r₀ + v₀·t + ½·a·t²
= [0, 0] + [3, 1]·t + ½·[1, 2]·t²
= [3t, t] + [0.5t², t²]
4
Wynik:
r(t) = [3t + 0.5t², t + t²]
x(t) = 3t + 0.5t²
y(t) = t + t²
5
Przykład dla t=2s:
v(2) = [3+2, 1+4] = [5, 5] m/s
r(2) = [3·2+0.5·4, 2+4] = [6+2, 6] = [8, 6] m

Zestaw 3, Zadanie 7: Rzut poziomy

Treść: Kamień rzucono poziomo z wysokości 20 m z prędkością 15 m/s. Gdzie uderzy w ziemię?

1
Dane:
h = 20 m (wysokość)
v₀ₓ = 15 m/s (poziomo)
v₀ᵧ = 0 (brak składowej pionowej na starcie)
g = 9.81 m/s² ≈ 10 m/s²
x = ? (zasięg)
2
Czas spadania (z wysokości):
y(t) = h – ½·g·t²
Ziemia: y=0
0 = 20 – 5t² (przy g=10)
5t² = 20
3
Obliczenie czasu:
t² = 20/5 = 4
t = √4 = 2 s (tylko dodatnie)
4
Zasięg (ruch poziomy jednostajny):
x = v₀ₓ·t = 15·2 = 30 m
5
Prędkość uderzenia:
vₓ = v₀ₓ = 15 m/s (stała)
vᵧ = g·t = 10·2 = 20 m/s (w dół)
v = √(15²+20²) = √(225+400) = √625 = 25 m/s
Kąt: α = arctan(20/15) ≈ 53° od poziomu

Rzut ukośny – dodatkowe zadanie

Treść: Piłkę kopnięto pod kątem 45° z prędkością 20 m/s. Oblicz: zasięg, maksymalną wysokość, czas lotu.

1
Dane:
v₀ = 20 m/s
α = 45°
g = 9.81 m/s² ≈ 10 m/s²
R = ? (zasięg)
h_max = ?
t_całk = ?
2
Składowe prędkości:
v₀ₓ = v₀·cos45° = 20·0.707 = 14.14 m/s
v₀ᵧ = v₀·sin45° = 20·0.707 = 14.14 m/s
3
Maksymalna wysokość:
h_max = (v₀ᵧ)²/(2g) = (14.14)²/(2·10) = 200/20 = 10 m
lub: t_w = v₀ᵧ/g = 14.14/10 = 1.414 s
h_max = v₀ᵧ·t_w – ½g·t_w² = 14.14·1.414 – 5·2 = 20 – 10 = 10 m
4
Czas lotu:
t_całk = 2·t_w = 2·1.414 = 2.828 s
5
Zasięg:
R = v₀ₓ·t_całk = 14.14·2.828 ≈ 40 m
lub ze wzoru: R = v₀²·sin(2α)/g = 400·sin90°/10 = 400/10 = 40 m

Zestaw 4, Zadanie 1: Układ biegunowy i kartezjański

Treść: Punkt ma współrzędne biegunowe (r=5, φ=53.13°). Znajdź współrzędne kartezjańskie. Sprawdź dla punktu (x=3, y=4).

1
Dane biegunowe:
r = 5
φ = 53.13° (≈arctan(4/3))
x = ?, y = ?
2
Przejście do kartezjańskiego:
x = r·cosφ = 5·cos53.13°
y = r·sinφ = 5·sin53.13°
cos53.13° ≈ 0.6, sin53.13° ≈ 0.8
3
Obliczenia:
x = 5·0.6 = 3
y = 5·0.8 = 4
Czyli (r=5, φ=53.13°) → (x=3, y=4)
4
Sprawdzenie odwrotne:
Dla (x=3, y=4):
r = √(x²+y²) = √(9+16) = √25 = 5 ✓
φ = arctan(y/x) = arctan(4/3) ≈ 53.13° ✓
5
Interpretacja:
Punkt (3,4) leży 5 jednostek od początku układu
pod kątem ~53° od osi x.
To klasyczny trójkąt egipski 3-4-5.

Temat 3: Zestaw 5 – Teoria

Zakres: Cały zestaw 5 (zadania 1-7)

Strategie rozwiązywania zadań z dynamiki

W zestawie 5 zazwyczaj są zadania z zastosowaniem zasad dynamiki Newtona:

I zasada: Jeśli F_wypadkowa = 0, to v = const
II zasada: F = m·a
III zasada: F_AB = -F_BA
Przejdź do zadań: Kliknij „Zadania – Zestaw 5” w menu po lewej stronie.

Temat 3: Zadania – Zestaw 5

Tryb ślepy: AKTYWNY
Zakres: Zestaw 5: zadania 1-7 (cały zestaw)
Z5.1 Zestaw 5, Zadanie 1: Zasada dynamiki
Z5.2 Zestaw 5, Zadanie 2: Siła wypadkowa
Z5.3 Zestaw 5, Zadanie 3: Równia pochyła
Z5.4 Zestaw 5, Zadanie 4: Dwa ciała połączone
Z5.5 Zestaw 5, Zadanie 5: Ciało na sprężynie
Z5.6 Zestaw 5, Zadanie 6: Ruch po okręgu
Z5.7 Zestaw 5, Zadanie 7: Układ z tarciem

Zestaw 5, Zadanie 1: Zastosowanie II zasady dynamiki

Treść: Na ciało 4 kg działają siły: F₁ = [10, 0] N i F₂ = [0, 5] N. Oblicz przyspieszenie.

1
Dane:
m = 4 kg
F₁ = [10, 0] N
F₂ = [0, 5] N
a = ?
2
Siła wypadkowa:
F_w = F₁ + F₂ = [10+0, 0+5] = [10, 5] N
3
II zasada dynamiki:
F_w = m·a
[10, 5] = 4·a
4
Obliczenie przyspieszenia:
a = [10, 5]/4 = [2.5, 1.25] m/s²
5
Wartość przyspieszenia:
|a| = √(2.5² + 1.25²) = √(6.25 + 1.5625) = √7.8125 ≈ 2.795 m/s²
Kierunek: α = arctan(1.25/2.5) = arctan(0.5) ≈ 26.6°

Zestaw 5, Zadanie 2: Siła wypadkowa i ruch

Treść: Ciało 2 kg ma przyspieszenie [3, 4] m/s². Oblicz siłę wypadkową. Jaka siła dodać, żeby a = [3, 0]?

1
Dane:
m = 2 kg
a₁ = [3, 4] m/s²
F_w = ?
Dodatkowa siła dla a₂ = [3, 0]
2
Obecna siła wypadkowa:
F_w1 = m·a₁ = 2·[3, 4] = [6, 8] N
3
Pożądana siła wypadkowa:
F_w2 = m·a₂ = 2·[3, 0] = [6, 0] N
4
Dodatkowa siła potrzebna:
F_dod = F_w2 – F_w1 = [6, 0] – [6, 8] = [0, -8] N
5
Interpretacja:
Trzeba dodać siłę 8 N skierowaną w dół
żeby zniwelować obecną składową pionową 8 N do góry.

Zestaw 5, Zadanie 3: Równia pochyła

Treść: Ciało 5 kg zsuwa się z równi o kącie 30° (bez tarcia). Oblicz przyspieszenie i siłę nacisku.

1
Dane:
m = 5 kg
α = 30°
g = 10 m/s²
a = ?, N = ?
2
Rozkład siły ciężkości:
F_g = m·g = 50 N (w dół)
Składowa równoległa: F_∥ = m·g·sinα = 50·sin30° = 50·0.5 = 25 N
Składowa prostopadła: F_⊥ = m·g·cosα = 50·cos30° = 50·0.866 ≈ 43.3 N
3
Przyspieszenie (II zasada dynamiki):
F_∥ = m·a
25 = 5·a
a = 25/5 = 5 m/s² wzdłuż równi
4
Siła nacisku (równowaga w kierunku prostopadłym):
N = F_⊥ = 43.3 N (prostopadle do równi)
5
Sprawdzenie:
a = g·sinα = 10·0.5 = 5 m/s² ✓
N = m·g·cosα = 5·10·0.866 = 43.3 N ✓

Zestaw 5, Zadanie 4: Dwa ciała połączone nicią

Treść: Na stole ciało 2 kg połączone nitką z wiszącym 3 kg (przez krążek). Oblicz przyspieszenie i naciąg nici (bez tarcia).

1
Dane:
m₁ = 2 kg (na stole)
m₂ = 3 kg (wiszące)
g = 10 m/s²
a = ?, T = ? (naciąg)
2
Równania dla każdego ciała:
Dla m₁ (poziomo): T = m₁·a (1)
Dla m₂ (pionowo): m₂·g – T = m₂·a (2)
3
Rozwiązanie układu:
Z (1): T = 2a
Podstawiamy do (2): 30 – 2a = 3a
30 = 5a
a = 30/5 = 6 m/s²
4
Naciąg nici:
T = 2a = 2·6 = 12 N
5
Sprawdzenie:
Dla m₂: 30 – 12 = 18 = 3·6 ✓
Dla m₁: 12 = 2·6 ✓
Uwaga: Przyspieszenie mniejsze niż g bo m₁ opóźnia.

Zestaw 5, Zadanie 5: Ciało na sprężynie

Treść: Ciało 0.5 kg zawieszone na sprężynie rozciąga ją o 5 cm. Oblicz stałą sprężystości. Jakie będzie wydłużenie przy 2 kg?

1
Dane:
m₁ = 0.5 kg
Δx₁ = 5 cm = 0.05 m
g = 10 m/s²
k = ? (stała sprężystości)
Dla m₂ = 2 kg: Δx₂ = ?
2
Równowaga sił:
Siła sprężystości = ciężar
k·Δx₁ = m₁·g
k·0.05 = 0.5·10
3
Stała sprężystości:
k = (0.5·10)/0.05 = 5/0.05 = 100 N/m
4
Dla masy 2 kg:
k·Δx₂ = m₂·g
100·Δx₂ = 2·10 = 20
Δx₂ = 20/100 = 0.2 m = 20 cm
5
Proporcjonalność:
Wydłużenie proporcjonalne do masy:
Δx₂/Δx₁ = m₂/m₁ = 2/0.5 = 4
Δx₂ = 4·5 = 20 cm ✓

Zestaw 5, Zadanie 6: Ruch po okręgu

Treść: Ciało 0.2 kg krąży po okręgu R=0.5 m z prędkością 2 m/s. Oblicz siłę dośrodkową i przyspieszenie.

1
Dane:
m = 0.2 kg
R = 0.5 m
v = 2 m/s
F_d = ? (siła dośrodkowa)
a_d = ? (przyspieszenie dośrodkowe)
2
Przyspieszenie dośrodkowe:
a_d = v²/R = 2²/0.5 = 4/0.5 = 8 m/s²
Kierunek: do środka okręgu
3
Siła dośrodkowa:
F_d = m·a_d = 0.2·8 = 1.6 N
4
Okres obiegu:
T = 2πR/v = 2·3.14·0.5/2 = 3.14/2 = 1.57 s
Częstotliwość: f = 1/T = 1/1.57 ≈ 0.637 Hz
5
Interpretacja:
Siła 1.6 N ciągle zakrzywia tor.
Bez niej ciało leciałoby po prostej (I zasada dynamiki).

Zestaw 5, Zadanie 7: Układ z tarciem

Treść: Ciało 4 kg ciągnięte po podłodze siłą 20 N pod kątem 30°. Współczynnik tarcia 0.2. Oblicz przyspieszenie.

1
Dane:
m = 4 kg
F = 20 N, α = 30°
μ = 0.2 (tarcie kinetyczne)
g = 10 m/s²
a = ?
2
Rozkład siły F:
Fₓ = F·cos30° = 20·0.866 = 17.32 N (poziomo)
Fᵧ = F·sin30° = 20·0.5 = 10 N (pionowo do góry)
3
Siła nacisku:
N = m·g – Fᵧ = 4·10 – 10 = 40 – 10 = 30 N
4
Siła tarcia:
T = μ·N = 0.2·30 = 6 N (przeciwnie do ruchu)
5
II zasada dynamiki (poziom):
Fₓ – T = m·a
17.32 – 6 = 4·a
11.32 = 4a
a = 11.32/4 = 2.83 m/s²

Temat 4: Energia i zasada zachowania – Teoria

Zakres zadań: Zestaw 6: zadania 1(c), 3, 4; Zestaw 7: zadania 1, 6

Podstawowe wzory na energię

Energia kinetyczna: E_k = ½·m·v²
Energia potencjalna grawitacyjna: E_p = m·g·h
Energia potencjalna sprężystości: E_s = ½·k·x²
Zasada zachowania energii: E_pocz = E_końc + W_niezach
Przejdź do zadań: Kliknij „Zadania – Zestaw 6 i 7” w menu po lewej stronie.

Temat 4: Zadania – Zestaw 6 i 7

Tryb ślepy: AKTYWNY
Zakres zadań:
Zestaw 6: zadanie 1(c), 3, 4
Zestaw 7: zadanie 1, 6
Z6.1c Zestaw 6, Zadanie 1(c): Praca siły grawitacji
Z6.3 Zestaw 6, Zadanie 3: Zasada zachowania energii
Z6.4 Zestaw 6, Zadanie 4: Energia sprężystości
Z7.1 Zestaw 7, Zadanie 1: Spadek swobodny
Z7.6 Zestaw 7, Zadanie 6: Ruch z tarciem

Zestaw 6, Zadanie 1(c): Praca siły grawitacji

Treść: Oblicz pracę wykonaną przy podnoszeniu ciała 3 kg z wysokości 2 m na wysokość 5 m.

1
Dane:
m = 3 kg
h₁ = 2 m
h₂ = 5 m
g = 10 m/s²
W = ? (praca przeciw grawitacji)
2
Metoda 1: Z definicji pracy
Siła potrzebna: F = m·g = 3·10 = 30 N (w górę)
Przemieszczenie: Δh = h₂ – h₁ = 5 – 2 = 3 m
Praca: W = F·Δh = 30·3 = 90 J
3
Metoda 2: Ze zmiany energii potencjalnej
ΔE_p = m·g·h₂ – m·g·h₁ = m·g·(h₂ – h₁)
= 3·10·(5-2) = 30·3 = 90 J
Uzasadnienie: Praca = zmiana energii potencjalnej.
4
Uwaga o znaku:
Praca wykonana PRZECIW sile grawitacji: +90 J
Praca wykonana PRZEZ siłę grawitacji: -90 J
(Grawitacja działa w dół, ruch w górę)
5
Interpretacja:
Dostarczamy 90 J energii do układu.
Ta energia zamienia się w energię potencjalną ciała.

Zestaw 6, Zadanie 3: Zasada zachowania energii

Treść: Ciało spada z wysokości 8 m. Z jaką prędkością uderzy w ziemię? (g=10 m/s²)

1
Dane:
h = 8 m
v₀ = 0 (spadek swobodny)
g = 10 m/s²
v = ? (prędkość przy ziemi)
2
Zasada zachowania energii:
E_pocz = E_końc
Na górze: E_p = m·g·h, E_k = 0
Na dole: E_p = 0, E_k = ½·m·v²
3
Równanie:
m·g·h = ½·m·v²
Uzasadnienie: Masa m skraca się – wynik nie zależy od masy!
4
Obliczenie v:
g·h = ½·v²
v² = 2·g·h = 2·10·8 = 160
v = √160 = √(16·10) = 4√10 ≈ 12.65 m/s
5
Sprawdzenie kinematyką:
v² = v₀² + 2·g·h = 0 + 2·10·8 = 160
v = √160 ≈ 12.65 m/s ✓
t = √(2h/g) = √(16/10) = √1.6 ≈ 1.265 s

Zestaw 6, Zadanie 4: Energia sprężystości

Treść: Sprężyna o stałej k=200 N/m ściśnięta o 0.1 m. Jaką maksymalną prędkość osiągnie ciało 0.5 kg po zwolnieniu?

1
Dane:
k = 200 N/m
x = 0.1 m (ściśnięcie)
m = 0.5 kg
v_max = ?
2
Zasada zachowania energii:
E_spręż = E_kin
½·k·x² = ½·m·v²
3
Równanie:
k·x² = m·v²
200·(0.1)² = 0.5·v²
200·0.01 = 0.5·v²
4
Obliczenie v:
2 = 0.5·v²
v² = 2/0.5 = 4
v = √4 = 2 m/s
5
Interpretacja:
Energia sprężystości: E_s = ½·200·0.01 = 1 J
Energia kinetyczna: E_k = ½·0.5·4 = 1 J ✓
Cała energia sprężystości zamienia się w kinetyczną.

Zestaw 7, Zadanie 1: Spadek swobodny z wysokości

Treść: Z jakiej wysokości trzeba zrzucić ciało, żeby uderzyło w ziemię z prędkością 20 m/s? (g=10 m/s²)

1
Dane:
v = 20 m/s (przy ziemi)
v₀ = 0 (zrzucono)
g = 10 m/s²
h = ?
2
Zasada zachowania energii:
m·g·h = ½·m·v²
Uzasadnienie: Energia potencjalna → kinetyczna
3
Skrócenie m:
g·h = ½·v²
10·h = ½·400 = 200
4
Obliczenie h:
h = 200/10 = 20 m
5
Sprawdzenie kinematyką:
v² = 2·g·h
400 = 2·10·h
400 = 20h
h = 20 m ✓
Czas spadania: t = v/g = 20/10 = 2 s

Zestaw 7, Zadanie 6: Ruch z tarciem

Treść: Ciało 2 kg zsuwa się z równi 5 m długiej, nachylonej 30°. Współczynnik tarcia 0.1. Oblicz prędkość u dołu.

1
Dane:
m = 2 kg
L = 5 m (długość równi)
α = 30°
μ = 0.1
g = 10 m/s²
v = ? (u dołu)
2
Wysokość równi:
h = L·sinα = 5·sin30° = 5·0.5 = 2.5 m
3
Energia początkowa:
E_p = m·g·h = 2·10·2.5 = 50 J
E_k = 0
4
Praca siły tarcia:
Siła nacisku: N = m·g·cosα = 2·10·cos30° ≈ 20·0.866 = 17.32 N
Siła tarcia: T = μ·N = 0.1·17.32 = 1.732 N
Praca tarcia: W_T = -T·L = -1.732·5 = -8.66 J (odejmuje energię)
5
Zasada zachowania z tarciem:
E_pocz = E_końc + |W_T|
50 = ½·m·v² + 8.66
½·2·v² = 50 – 8.66 = 41.34
v² = 41.34
v = √41.34 ≈ 6.43 m/s
Bez tarcia: v = √(2gh) = √(2·10·2.5) = √50 ≈ 7.07 m/s

Temat 5: Iloczyn wektorowy i dynamika ruchu obrotowego – Teoria

Zakres zadań: Zestaw 8: zadania 1, 2 + pozostałe

Podstawowe wzory

Iloczyn wektorowy: a × b = [aᵧb_z-a_zbᵧ, a_zbₓ-aₓb_z, aₓbᵧ-aᵧbₓ]
Moment siły: M = r × F
Moment bezwładności: I = Σ m_i·r_i²
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego: M = I·α
Przejdź do zadań: Kliknij „Zadania – Zestaw 8” w menu po lewej stronie.

Temat 5: Zadania – Zestaw 8

Tryb ślepy: AKTYWNY
Zakres: Zestaw 8: zadania 1, 2 + pozostałe (trudność między 1 a 2)
Z8.1 Zestaw 8, Zadanie 1: Iloczyn wektorowy
Z8.2 Zestaw 8, Zadanie 2: Moment siły
Z8.3 Zadanie 3: Moment bezwładności
Z8.4 Zadanie 4: Dynamika ruchu obrotowego
Z8.5 Zadanie 5: Równowaga momentów

Zestaw 8, Zadanie 1: Obliczanie iloczynu wektorowego

Treść: Oblicz a × b dla a = [1, 2, 3] i b = [4, 5, 6]. Sprawdź prostopadłość.

1
Dane:
a = [1, 2, 3]
b = [4, 5, 6]
a × b = ?
2
Wzór na iloczyn wektorowy:
a × b = [aᵧb_z – a_zbᵧ, a_zbₓ – aₓb_z, aₓbᵧ – aᵧbₓ]
3
Obliczenia składowych:
x: aᵧb_z – a_zbᵧ = 2·6 – 3·5 = 12 – 15 = -3
y: a_zbₓ – aₓb_z = 3·4 – 1·6 = 12 – 6 = 6
z: aₓbᵧ – aᵧbₓ = 1·5 – 2·4 = 5 – 8 = -3
4
Wynik:
a × b = [-3, 6, -3]
5
Sprawdzenie prostopadłości:
a·(a×b) = [1,2,3]·[-3,6,-3] = 1·(-3)+2·6+3·(-3) = -3+12-9 = 0 ✓
b·(a×b) = [4,5,6]·[-3,6,-3] = 4·(-3)+5·6+6·(-3) = -12+30-18 = 0 ✓
Oba iloczyny skalarne = 0 → wektor prostopadły do a i b.

Zestaw 8, Zadanie 2: Moment siły

Treść: Siła F = [0, 10, 0] N działa w punkcie r = [3, 0, 0] m. Oblicz moment siły względem początku układu.

1
Dane:
r = [3, 0, 0] m (wektor położenia)
F = [0, 10, 0] N (wektor siły)
M = r × F = ? (moment siły)
2
Obliczenie iloczynu wektorowego:
M = r × F = det⎡ i   j   k ⎤
          ⎢ 3   0   0 ⎥
          ⎣ 0   10 0 ⎦
3
Rozwinięcie wyznacznika:
i: 0·0 – 0·10 = 0
j: 3·0 – 0·0 = 0 (ale z minusem: -0 = 0)
k: 3·10 – 0·0 = 30
4
Wynik:
M = [0, 0, 30] Nm
5
Interpretacja:
Moment 30 Nm wokół osi z (dodatni = przeciwnie do ruchu wskazówek zegara)
Siła 10 N w odległości 3 m daje moment 30 Nm.
Kierunek: „reguła prawej dłoni” – kciuk w kierunku momentu.

Zadanie 3: Moment bezwładności

Treść: Dwie masy 2 kg każda umieszczone na końcach pręta o długości 1 m (masa pręta pomijalna). Oblicz moment bezwładności względem środka.

1
Dane:
m₁ = m₂ = 2 kg
L = 1 m (długość pręta)
r = L/2 = 0.5 m (odległość każdej masy od środka)
I = ? (moment bezwładności względem środka)
2
Definicja momentu bezwładności:
I = Σ m_i·r_i²
Uzasadnienie: Suma mas × kwadrat odległości od osi obrotu.
3
Obliczenie:
I = m₁·r₁² + m₂·r₂²
= 2·(0.5)² + 2·(0.5)²
= 2·0.25 + 2·0.25
4
Wynik:
I = 0.5 + 0.5 = 1 kg·m²
5
Interpretacja:
To jest układ „dwumasa”.
Jeśli obrót wokół końca: I = 2·(0.5)² + 2·(0.5)² = 1 kg·m² (tak samo)
Jeśli jedna masa w środku: I = 2·0² + 2·0.5² = 0.5 kg·m²

Zadanie 4: Dynamika ruchu obrotowego

Treść: Na krawędzi dysku (I=2 kg·m²) działa styczna siła 5 N w odległości 0.4 m od osi. Oblicz przyspieszenie kątowe.

1
Dane:
I = 2 kg·m² (moment bezwładności)
F = 5 N (siła styczna)
r = 0.4 m (ramię siły)
α = ? (przyspieszenie kątowe)
2
Moment siły:
M = r × F
|M| = r·F·sinθ = 0.4·5·sin90° = 0.4·5·1 = 2 Nm
(Siła styczna → θ=90° → sin90°=1)
3
II zasada dynamiki dla obrotów:
M = I·α
2 = 2·α
4
Przyspieszenie kątowe:
α = 2/2 = 1 rad/s²
5
Przyspieszenie liniowe krawędzi:
a = α·r = 1·0.4 = 0.4 m/s²
Sprawdzenie: F = m·a? Nie znamy m całkowitej dysku.
Ale dla punktu na krawędzi: a = F/m_efektywnej

Zadanie 5: Równowaga momentów sił

Treść: Dźwignia 2 m podparta w środku. Na jednym końcu ciężar 30 N. Jaki ciężar na drugim końcu dla równowagi?

1
Dane:
L = 2 m (długość dźwigni)
r₁ = r₂ = L/2 = 1 m (odległości od podparcia)
F₁ = 30 N (siła z jednej strony)
F₂ = ? (siła z drugiej strony dla równowagi)
2
Warunek równowagi momentów:
ΣM = 0
M₁ + M₂ = 0
(r₁ × F₁) + (r₂ × F₂) = 0
3
Dla dźwigni prostopadłej:
|M₁| = r₁·F₁ = 1·30 = 30 Nm (w jedną stronę)
|M₂| = r₂·F₂ = 1·F₂ (w przeciwną stronę)
Dla równowagi: 30 = F₂
4
Rozwiązanie:
F₂ = 30 N
Uzasadnienie: Równe ramiona → równe siły.
5
Przykład z różnymi ramionami:
Jeśli r₁ = 0.5 m, r₂ = 1.5 m:
r₁·F₁ = r₂·F₂
0.5·30 = 1.5·F₂
15 = 1.5F₂ → F₂ = 10 N
Dłuższe ramię → mniejsza siła.

Wszystkie tematy w skrócie

Podsumowanie – WSZYSTKIE zadania wykonane:
  • Temat 1: 11 zadań z Zestawu 1 i 2 ✓
  • Temat 2: 9 zadań z Zestawu 3 i 4 ✓
  • Temat 3: 7 zadań z Zestawu 5 ✓
  • Temat 4: 5 zadań z Zestawu 6 i 7 ✓
  • Temat 5: 5 zadań z Zestawu 8 ✓
  • RAZEM: 37 zadań ✓

Najważniejsze wzory – podsumowanie

Ruch jednostajny: r(t) = r₀ + v·t
Ruch przyspieszony: r(t) = r₀ + v₀·t + ½·a·t²
Iloczyn skalarny: a·b = |a||b|cosα = aₓbₓ + aᵧbᵧ
Iloczyn wektorowy: a × b = [aᵧb_z-a_zbᵧ, a_zbₓ-aₓb_z, aₓbᵧ-aᵧbₓ]
Energia kinetyczna: E_k = ½·m·v²
Energia potencjalna: E_p = m·g·h
Moment siły: M = r × F
Dynamika obrotów: M = I·α
Strategia rozwiązywania zadań:
  1. Przeczytaj uważnie 2-3 razy
  2. Wypisz dane i szukane
  3. Narysuj schemat
  4. Wybierz odpowiednie prawo fizyczne
  5. Zapisz równanie w formie ogólnej
  6. Podstaw dane (uważaj na jednostki!)
  7. Oblicz i sprawdź sens fizyczny wyniku

Typowe błędy na egzaminie

1. Nieuwaga na jednostki: km/h na m/s, cm na m

2. Mylenie drogi z przemieszczeniem

3. Średnia arytmetyczna prędkości zamiast średniej z definicji

4. Brak rysunku w zadaniach z siłami

5. Nie skracanie masy w zasadzie zachowania energii

6. Błąd w znakach przy pracy i energii

Życzę powodzenia na egzaminie! 🎯
Pamiętaj: Rozumienie > Wkuwanie. Analizuj każdy krok.